Marcio Demetrius Martinez
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
79750-000, Nova Andradina, MS
e-mail: martinez@uems.br
Resumo: O objetivo do presente trabalho será explorar, principalmente por meio de animações, um simulador gráfico proporcionando mais um recurso de apoio ao estudo de Geometria Analítica no Ensino Médio e Superior. As atividades que serão apresentadas servirão de base para outras animações que poderão ser utilizadas também em cursos de Álgebra Linear, Cálculo e Geometria Diferencial. Enfocaremos a obtenção de curvas utilizando um parâmetro para a sua construção, ou seja, dada uma curva, quer seja gráfico de função quer não, trataremos de visualizar seu traço continuamente através de uma animação gráfica a 1-parâmetro nos sistemas de coordenadas cartesianas ou polares. Para obter esse efeito será necessário utilizar as equações paramétricas ou polares dessa curva. Em alguns casos faremos uma animação “discreta” com o parâmetro percorrendo uma família de pontos. Para o proposto, utilizaremos o software de domínio público WINPLOT, o qual foi desenvolvido por Richard Parris, da Philips Exeter Academy. Trata-se de um programa gráfico de propósito geral, permitindo o traçado e animação de gráficos em 2D e em 3D, através de diversos tipos de equações (explícitas, implícitas, paramétricas e outras). Num primeiro momento deste minicurso faremos um breve reconhecimento do software e na seqüência passaremos às animações e possíveis aplicações.
Palavras-chave: Curvas. Parâmetro. Polar. Animações. Winplot.
PARTE I - Breve Reconhecimento do Winplot:
Ao iniciar o programa selecione no menu principal a opção de gráficos em duas dimensões “2 dim” ou pressione F2. Aparecerá a seguinte tela (à direita):
Explícita: Clique em equação e em seguida clique em “Explicita” ou pressione F1. Aparecerá a seguinte caixa: Digite a função no primeiro quadro e clique no botão “OK”.
O programa desenhará o gráfico solicitado.
A janela do inventário
A janela apresenta os seguintes recursos:
1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo intervalo, alterar a cor ou a espessura do traço.
2. Apagar: Elimina uma equação selecionada do inventário.
3. Dupli: Duplica a função selecionada.
4. Copiar: Copia a fórmula da equação.
5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função.
6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções.
7. Mostrar gráfico: Oculta ou mostra o gráfico.
8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico.
9. Família: converte a equação em uma família de curvas ou pontos.
10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da função dentro do intervalo plotado.
Paramétrica: Clique em equação e em seguida clique em “Paramétrica” ou pressione F2. Aparecerá a seguinte caixa abaixo à esquerda. Insira os parâmetros no primeiro quadro e indique o intervalo a ser plotado. Conforme a figura à direita, o programa desenhará o gráfico solicitado.
Polares: Clique em equação e em seguida clique em “polar” ou pressione F4. Aparecerá a seguinte caixa: Insira a equação no primeiro quadro e use a letra t para representar o ângulo polar teta, que é dado em radianos. O programa desenhará o gráfico solicitado:
PARTE II – Construção/Animação de Curvas no Plano na Forma Paramétrica:
Num primeiro momento desta parte II, trabalharemos essencialmente com equações paramétricas que permitem escrever funções na forma y=f(x) em uma forma, por exemplo, x=t, y=f(t), com a vantagem que poderemos controlar a ação de “t” mediante um novo parâmetro, chamado de “parâmetro de animação”. Dividiremos esta tarefa em duas sub-partes:
Curvas que iniciam na origem dos eixos coordenados:
Dada uma função podemos inserir um parâmetro k de animação para visualizar seu traço. Para isso, devemos utilizar suas equações na forma para métrica. Fazendo x=t, temos y=f(x)=f(t). Logo as equações paramétrica dessa curva ficam:
O caso mais simples ocorre quando queremos animar uma curva y=f(x), iniciando a animação na origem O(0,0). Isto corresponde a iniciar a animação em t=0.
Animação no Winplot 1: Faça a animação de
Equações paramétricas:
No menu Equação → Paramétrica, digite e escolha o intervalo 0
Animação gráfica da equação paramétrica
Animação 2: Faça a animação de
Equações paramétricas:
No menu Equação → Paramétrica, digite e escolha o intervalo 0
Animação gráfica da equação paramétrica
2.12.2 Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano.
Animação 3: Faça uma animação do segmento que liga os pontos P(-2,4) a Q(3,9).
Lembremos que as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto são dadas por em que v = (a,b) é um vetor diretor desta reta.
Assim, as equações do segmento que liga os pontos a são: . Daí temos a equação do segmento que liga os pontos P(-2,4) a Q(3,9):
Animação gráfica da reta que liga os pontos P(-2,4) a Q(3,9).
Animação4: Construir a animação do gráfico ,
Animação:
A lógica dessa animação é a seguinte:
Quando k=0 temos x(t)=-2 e y(t)=4. Conseqüentemente, o programa só exibe o ponto P=(-2,4).
Quando k=1 teremos x(t)=-2+(t+2), ou seja, x(t)=t. também teremos , ou seja, , que é a curva inteira.
Os passos intermediários 0
Teorema: Se é uma curva plana que liga os pontos P=(f(a),g(a)) a Q=(f(b),g(b)), a reparametrização fornece a animação da curva desde o ponto P até Q.
Animação5: Construir a animação simultânea do segmento e da parábola , no intervalo Dessa forma; teremos:
1)Animação do segmento:
2)Animação da parábola: Fazendo agora o parâmetro k variar entre 0 e 1 teremos a seguinte animação.
Animação gráfica simultânea do segmento e da parábola ,
Exercícios:
1. Animar o segmento de reta que liga o ponto P=(0,0) a Q=(2,3).
2. Animar o segmento de reta que liga o ponto P=(0,0) a Q=(3,4).
3. Animar o segmento de reta que liga o ponto P=(-1,1) a Q=(3,3).
4. Animar o segmento de reta que liga o ponto P=(1,-1) a Q=(3,1).
5. Animar o gráfico da parábola
6. Animar o gráfico da cúbica
7. Animar o gráfico da cúbica
8. Animar o gráfico da cúbica
Agora, trabalharemos com equações paramétricas que permitem escrever equações na forma implícita em uma forma paramétrica, por exemplo, x=f(t), y=g(t). Construiremos também algumas curvas paramétricas.
A circunferência com centro (a,b) e raio r tem equação (x - a)² + (y - b)² = r². Tomando x=a+r cos(t), y=b+r sin(t), é fácil verificar que x e y tomados desta forma satisfazem a equação (x - a)² + (y - b)² = r². Também, se (x,y) é um ponto da circunferência, então
Exercícios:
1. Faça a parametrização da circunferência de centro na origem e raio 3.
2. Faça a parametrização da circunferência de centro no ponto (1,-2), e raio 2.
3. Faça a parametrização das elipses (usando seno e cosseno) de equação a) e b)
4. Dada a hipérbole de equação verifique graficamente e matematicamente, que x=2cossec(t) e y=é uma parametrização para ela.
5. Encontre uma parametrização para a hipérbole
6. Curva ciclóide. Imagine uma circunferência rolando sem patinar sobre u
ma reta. Qual será a curva descrita por um ponto sobre a circunferência? A curva é chamada de ciclóide e é dada na figura abaixo. Deduza matematicamente as equações paramétricas dessa curva. Será interessante fazer a animação no Winplot.
(x,y)=(at-sin(at), 1-cos(at)), Equação paramétrica.
(x - a)² + (y - 1)² = 1. Equação implícita.
(x,y)=(a,1). Equação Ponto (x,y).
(x,y)=(a-sin(a), 1-cos(a)). Equação Ponto (x,y).
seg (a-sin(a), 1-cos(a)) para (a,1). Equação do segmento.
y=0. Equação explícita.
Fazer animação para a no intervalo 0 a 12.
